無限的概念

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	先說大數 對於80年代之前出生的人，我想最早聽到或說最有印象的大數，大概就是八國聯軍時滿清賠款四萬萬兩的這個大數了。四萬萬實際上就是四億，到現代來看也不算太大，但當時沒直接了當寫成億，代表一直到20世紀初，我們也少用到如此等級的大數。（而如果時間再往前推，遠古開始有數的概念時，三以上就已經算多了。） 個、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載 中文的大數單位，現今用到兆(萬億)已經夠了，京(萬兆)以上的單位，知道的人不多，因為很不常用。 但物理天文學經常會使用到如此大數。拜數學所賜，我們很清楚知道如何表達大數，比如10^30, 十的三十次方，一後面30個零。比如我們說宇宙的粒子估計是10^80個。 量子學研究小粒子，反過來用極小的數，也不要緊，次方為負即可。10^-30，十的負三十次方，0.00…01，小數點後有29個零。比如普朗克常數h=6.6260693(11)×10^-34 J•s。 以上有關大數，使用次方已經很足夠了，雖然我們甚至還可以用到次方的次方。

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	無窮大 接著，我們來設想無窮大，數學上使用平躺的8，∞表示之。所有的大數，管你要用次方的次方的次方再次方來表示，只要能被寫出來，都是有限的。我們不能以大數來定義無窮大，無窮大只能是概念化的存在。而這個概念化的存在無法被加減乘除的直接運算，只能在概念上去趨近。無窮大+1，還是無窮大。無窮大-大數還是無窮大。無窮大x極小數還是無窮大。1除無窮大則是0*。 但在這裡就產生了一個問題，無窮大-無窮大；或無窮大/無窮大會是多少呢？這麼問並無意義，得看實際的數學式，以趨近取極限的方式去知道兩個無窮大的比例關係。以無窮大相除來說，如果能有比例關係，則結果就會是該比例。 無窮大還有另外的概念：開放的、取之不盡、用之不竭的。但做為概念，無窮大可不是只有這樣。數學上，無窮大還是有分幾類，也就是有不同種類的無窮大。這是概念上的一種再前進。 這裡，我們舉出一個問題：所有整數的個數和一條線上的幾何點數，究竟哪一個多些？兩個都是無窮大，但誰強呢？ 這問題對於一般人來說，可能沒有什麼意義，但數學家康托爾(Georg Cantor)，給了這問題的解答，並且可依此來分類不同無窮大的級別。 於是，我們接著來介紹無窮大的分類。 ========= 註*：此說法不嚴謹，這會相當於說1/0=無窮大，事實1/0無意義。實際上數學只能以趨近的方式(取極限)去認定，而不能去踩0那個點。

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	無窮大數列的分類 第0類，整數類數列的無窮大。這是最一般的無窮大概念。不管是正整數、負整數、奇數、偶數、分數等，都是這一類。 這宣告如果我們仔細想想，便會有一個疑問。比如，正整數1,2,3,4, … ∞，與正偶數2,4,6,8,… ∞。這兩者明顯有比例，整偶數序列可是正整數的值的兩倍！正偶數跑向無窮大的速度可是比正整數快兩倍的。還有，正整數序列不就是由正奇數與正偶數組成的嗎？ 但是，我們剛剛有提到，無窮大是一個開放的，取之不盡、用之不竭的概念，而且，我們的問題是在”個數”，不是數值。所以，如果我們有能力將兩個數列給一一對應，不管對應的數值差距多大，我們便可以宣稱，它們是同一類級別的無窮大數列。 1,2,3,4,… 2,4,6,8,… 它們確實可以一一對應。 正整數，正偶數，正奇數，乃至負數，都可以做到一一的對應。 再說，雖然正整數序列是由正奇數與正偶數組成的，但我們如果由無窮大抽出一半個數出來，請問是不是還是無窮大？當然還是！無窮大除以2還是無窮大的啊！ 我們再問一例： -∞ … -3,-2,-1,0,1,2,3,… ∞。這可是兩頭無窮大的數列，與只有一邊的正整數的無窮大數列還是同一級別的嗎？ 是的，它們是。我們把0對0，把正整數序列的正偶數對應的1,2,3,4,… ∞ 的那端，把正整數序列的正奇數部分對應到-1,-2,-3,… -∞ 那端。還是可以一一對應。 我們再問分數，比如3/267, 6/133等。 我們依然可以羅列整個分數，只要把分子分母之和的分數一一列表排序。比如和為2的分數是1/1；和為3的分數：1/2, 2/1；和為4的分數：1/3, 2/2, 3/1；然後一直下去。結果就是1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1,…。我們可以用1,2,3,4,5,6,… 一個個跟這個分數序列對應下去，雖永遠對應不完，但也永遠對應得到，於是，分數還是這一級別的無窮大。 我們可以說，只要是離散式可一個一個明確列出來的，雖然永遠列不完，但永遠可以被數下去，都屬於這第0類的無窮大。

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	第1類，線、面、體上，所有幾何點的數目的無窮大。 回到上面的一個問題：所有整數的個數和一條線上的幾何點數，究竟哪一個多些？ 答案是，幾何點數，或說實數。而且，無論此線段多短，都強於整數個數的級別。 這裡就不能不講連續的概念了。 一條連續的線中，相鄰兩點是可以無限的靠近，以至於取其極限時，本質上就會無限接近成為一個點，而沒有所謂「相鄰」的概念了。從這個道理上來講，即便有無限的離散點也是不能構成線的。而這也正是離散與連續最根本上的不同。 （芝諾悖論其實就是在離散與連續之中找到不相秤而矛盾一事。如果我們以理性所認知的世界是離散構成的，這便不會有矛盾。有機會我們以後再說。） 連續的線的無限級別，必然是比離散的無限還要強的。 我們取一段0到1的線段，其中我們可以塞進無窮多的點，1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6…，即無窮多個介於0與1之間的分數，或說是有理數*。但這0到1之間的實數，可不只存在有理數，也有無理數。比如說，自然對數e/3，或圓周率π/5，也都介於0~1之間。 我們不僅列不完此線段上的所有實數，單單一個實數本身就是一種無窮盡的表示，π=3.1415926…。而且即便在兩個非常相鄰的實數與實數之間還可以再塞上無窮多的實數。可以說是無窮多的無窮多。 數學上要證明這事也容易，我們假設有人宣稱他有一套規則，可以列出所有介於0與1之間的實數，雖然列不完，但可以含蓋0~1之間所有實數。一旦如此，此序列就會是第0級別的無窮大，而不是第1級別，因為可以一個個被數下去。 就說這序列長成如下這樣： 1  0.1234567890123456…. 2  0.7782834902643634…. 3  0.2398405726011987.… 4  0.5792837101888276.… 5  0.3892003947882934…. … 我們只要舉一個實數不存在於該序列之中，就可以破其宣稱的涵蓋所有實數。 我們只要設計一個實數，使得小數點後第一個位數不等於第一序數的小數點後第一個位數(1)；小數點後第二個位數不等於第二序數的小數點後第二個位數(7)；小數點後第三個位數不等於第三序數的小數點後第三個位數(9)；之後依此類推。於是比如實數 0.         2    8    5    4    3  … 非1  非7  非9  非2  非0  …. 便被造出來。 如果序列發明者說，此一實數就在我的序列的第137個，則我們可以確定，在小數點後第137位，值不可能一樣，因為這是我們故意如此選定的。所以，此設計出來的實數必定不在上述序列之中。以上是一種反證法，先說有，後推演不可能有，便破了命題。 由第0類無窮大，到第1類無窮大，是一個從點到線，從離散到連續的差距。 ================= *註：數學上，有理數是一個整數a和一個非零整數b的比，例如3/8，通則為a/b，故又稱作分數。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合，整數亦可看做是分母為一的分數。有理數的小數部分有限或為迴圈。不是有理數的實數遂稱為無理數。實數便是有理數與無理數的組成。

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	一個一米長的連續線的無窮大實數個數，與一個一公里長的線段的無窮大實數個數，哪一個強呢？答案是，一樣！管你是一米、十公里、一光年、甚至趨向無限長。這道理如同剛才整數與奇偶數一樣，比例問題而已。 接著，我們看平面、立體。大家可能會覺得「點」是第0類無窮大，「線」是屬於第1類無窮大，那一個「面」應該就是第2類無窮大了。但，錯了！無窮大又再次顛覆了我們看似合理的推論。平面，立體，甚至四維、五維，… 都屬於第1類無窮大級別。 一個平面上的每一個位置，都是由兩個實數所定位，我們就說是X與Y。我們是可以想像出來X與Y各別都可以與一個線段L去類比，但畢竟X與Y是兩組實數群，應該要比單一線段L的實數群大的啊！？ 但，L真的可以被拆分成兩組實數群。做法如下： 比如某一實數：0.12345678901234567890…. 我們可以拆分成：0.1357913579….. 與0.2468024680…. 單純把偶位與奇位給分開，就是兩個實數。所以我們本來就可以把兩個實數用一個實數來表示，因為單單一個實數的表示式就是無窮無盡的。 依此類推，一個實數也可以拆分成三個實數、四個實數、五個實數、… 可以代表立體、四維、五維以上的圖形。 各位還可以從另一個視角 ─ Fractal（分形、碎形）去看。一條無限長的連續直角曲線可以填滿整個平面。http://www.rupeng.com/forum/thread-97-1-1.html 所以在平面上，一條向內趨近的無限長的線，做得到通過該平面上所有的點。 （但這線可不是一般的線，存在於概念，但畫不出來。） 接著，還有第2類無窮大 ─ 曲線的樣式。所有不同曲線的樣式的個數，比所有幾何點的數目還要大。乖乖… 曲線的樣式當然是無限多的，我們也可以很安心的宣告這世上所有的曲線，管你臨摹畫的、印刷出來的，無論多麼相似，最細緻的看也是兩條不同曲線。但我並不太清楚為何所有曲線樣式的個數會比線的幾何實數個數多？書上沒寫，想來是線的實數群無法做到一一對應出不同曲線樣式的實數群吧！ 我就來猜測一下。一條曲線，本身當然屬於第1類無窮大級別，一條線總可跟它對應得上。或者我們這樣講，不同曲線，管它如何奇形怪狀，也總可被劃在平面上。平面屬第1類無窮大，所以，曲線還是第1類無窮大級別。但第2類無窮大說的不只是曲線的本身，而是曲線的樣式，形之而上的無限的變化。一條曲線，可與第1類無窮大級別相媲美，也完全占據了第1類無窮大。但曲線形之而上的無限變化，第1類無窮大可能就力不從心了吧？ 是否還有更高級別的無窮大，我是不知道了。對無窮大數列，就介紹到此。 奇怪 ============== 參考書籍： 從一到無限大─科學中的事實和臆測 （George Gamow著，暴永寧譯）